TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos se entiende como un contenido del área de matemáticas pero sus utilidades van mucho más allá del desarrollo del pensamiento lógico matemático. Comprender la teoría de conjuntos nos permite utilizar los conjuntos como herramienta para analizar, clasificar y ordenar los conocimientos adquiridos desarrollando la compleja red conceptual en que almacenamos nuestro aprendizaje.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas y, junto con la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

TIPOS DE CONJUNTOS 

• UNITARIO: Es el conjunto formado por un solo elemento 
• VACIO: Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen.
• FINITO: Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad.
• INFINITO: Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. 
• UNIVERSO:Es el que contiene todos los elementos de los otros conjuntos con los que se esta trabajando 

TIPOS DE OPERACIONES

• INTERSECCIÓN: 

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

• A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
  Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
  
  Ejemplo:
  Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
  Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

• UNIÓN: 

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

• A È B = { x/x Î A ó x Î B }
  
  Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
  A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
  

• COMPLEMENTO: 

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

• A'={ x Î U/x y x Ï A }
  
  Ejemplo:
  Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
  A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
  El complemento de A estará dado por:
  A'= { 2, 4, 6, 8 }

• DIFERENCIA: 

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

• A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
  
  Ejemplo:
  Sea A= { a, b, c, d } y
  B= { a, b, c, g, h, i }
  A - B= { d }
  En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
  B – A = { g, h, i }
  E indica los elementos que están en B y no en A.

• DIFERENCIA SIMÉTRICA: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM

COMO SE REPRESENTAN LOS CONJUNTOS

1. Enumerativa: sus elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Cada conjunto describe un listado de todos sus elementos.
2. Descriptiva: se trata de un enunciado que describe una característica común a todos los elementos del conjunto.
3. Diagramas de Venn: regiones cerradas que nos permiten visualizar las relaciones entre los conjuntos.

ALGUNOS SÍMBOLOS

EJEMPLOS 

https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM

Apartir del problema se estructura un diagrama de venn para resolverlo

https://www.youtube.com/watch?v=_ycfej1OUMs

CONCLUSION

La Teoría de conjuntos es de gran utilidad en las matemáticas, pues es una herramienta importante para poder estudiar las relaciones existentes entre un todo y sus partes, al mismo tiempo que sentó las bases para simplificar definiciones de conceptos que resultaban más complejas.

Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.